Non-Routine Problems

The non-routine problem is a kind of unique problem solving which requires the application of skills, concept or principle which have been learned and mastered. It is also meant that whenever we are facing an unusual problem or situation which we don’t know the procedures to solve it, we are facing the non-routine problem.

Non-routine problem solving serves a different purpose than routine problem solving. While routine problem solving concerns solving problems that are useful for daily life (in the present or in the future), non-routine problem solving concerns that only indirectly. Non-routine problem solving is mostly concerned with developing students’ mathematical reasoning power and fostering the understanding that mathematics is a creative endeavor.

Non-routine problem solving can be seen as evoking an ‘I tried this and I tried that, and eureka, I finally figured it out.’ reaction. That involves a search for heuristics (strategies seeking to discover). There is no convenient model or solution path that is readily available to apply to solving a problem. That is in sharp contrast to routine problem solving where there are readily identifiable models (the meanings of the arithmetic operations and the associated templates) to apply to problem situations.

Tangram Activities!

Classroom Puzzles (K-2)

Prepare sets of tangrams for your students ahead of time. You should make 2 sets for each student. Explain a little of the history of tangrams and show your students some of the many pictures that can be made.

Challenge your students to create their own designs with their tangrams. Can they make a fish? A cat? A strange-looking plant? When students have had opportunity to explore and create, have them create their favorite design and then glue the arrangement onto construction paper. Later, when the glue has dried, use these designs as a classroom set of puzzles. Hand out the designs and new sets of tangrams and have students try to recreate their classmates’ designs. With younger students, the designs may be recreated by matching the pieces directly on top of the puzzles. After the activity, use the puzzles to decorate your classroom.

Fun maths activities!

Maths Graphing Activities in Classroom.....

There are many fun elementary math graphing activities you can use to teach your first graders about graphing. Start with making concrete graphs and then move to picture graphs to give your students a good foundation for graphing.

Elementary Math Graphing Activities

Before they can learn to interpret and use graphs, students need experience with making their own. Younger students will understand graphing best when they begin graphing using real objects. After they have experience with real graphs they can begin to make picture graphs and symbolic graphs.
Try these ideas for making concrete and picture graphs. You can purchase a pre-made floor mat for graphing or make your own using a white shower curtain liner and making a grid on it with painter's tape.
After you complete each graph let the students talk about their observations and then ask questions about the graph. Some questions to consider are:

• Which column has the most? the least?
• Are any columns the same?
• How many _________?
• Are their more _________ or more ________?
• How many more __________are there than _________?
• How many fewer ____________ are their than ___________?
• How many are their altogether?

Elementary Math Graphing Activities: Real Graphs

Shoe Graph
This is an easy first graphing experience for students. Have each student take off one shoe. Sort the shoes into piles for laces and no laces. Then label two columns of your floor mat Laces and No Laces with index cards. Have the students line that shoes up in the appropriate columns and then discuss the graph. They may need some guidance deciding where to place the shoes, if this is their first time graphing. You can also graphs shoes by color or type of shoe e.g. boots, sneakers or sandals.

Apple Graphs
If you teach kindergarten or first grade, you probably have an apple unit early in the year. To add some graphing to the unit, have each student bring in a red, yellow or green apple and then sort and graph them onto your graphing mat. You might bring in one or two yellow and greens, so that you don't end up with all red apples and so that you have extra for those who have forgotten to bring one. After you graph you can use the apples for tasting the different colors or for making applesauce. If you do apple tasting, have each students draw his favorite color apple onto an index card and then graph the favorites. This is a great transition to a picture graph.

Candy Graphing
Make a graphing mat for each student on white paper. Then give them m&m's, skittles, gummy bears or lifesavers to graph by color. Near Valentine's Day, give each student a box of conversation hearts to graph. They can lay the candy pieces into the squares in the columns for each color. To extend the activity, have them color in the squares to make a bar graph after they have made the real graph.
Other fun foods to graph and eat are Fruit Loops or Trix cereal, small boxes of animal crackers and colored goldfish crackers.

Picture Graphs

Once your students have mastered making graphs with real objects, start letting them make picture graphs. You can use your floor mat or just tape their pictures to chart paper or the chalk board.

Graphing Favorites
Favorites are easy for young children to graph. You decide which items they are going to choose from so that you don't end up with too many columns. If you are graphing favorite pets, give them the choices dog, cat, bird or fish. Someone will probably insist that his favorite pet is a snake, but you can just tell him to choose his favorite from the choices given. Then have each student draw a picture of her favorite and place it on the graph.

Other favorites to graph:

• Shape
• Color
• Type of weather
• Holiday
• Ice Cream Flavor
• Type of fruit or vegetable

Weather Graphs
You can keep an ongoing weather graph each month to track what the weather is like. Make pictures of a sun, clouds, rain, snow and wind and add one to your graph each day to represent the weather after your class has been outside. During a weather unit, you might want to actually take a picture outside each day to show the weather and then use the picture to make a graph at the end of your unit.

Lunch Graphs

If you are required to send in a lunch count each day, you can make it a daily graphing activity. Just make a bunch of die-cuts of lunchboxes and a dollar sign or something else to represent buying lunch. Have your students graph the picture that tells what they will be doing for lunch each day when they arrive at school. You can also laminate a graph with columns for buying lunch or bringing lunch from home on it and have each student place his picture in the appropriate column each day. This works as an attendance graph too, because you will be able to see which students picture are not on the graph. Discuss the graphs as part of your morning calendar time.
These fun activities will help your students become experts at graphing!

Read more: 

Fun games to play in geometry class!

Looking for a fun way to spice up your geometry class while still learning? These geometry games are a great way to review shapes, area, and perimeter.

Shape Bingo or Matching

For younger kids, try using a variation of the classic game of Bingo to teach them their shapes. Cut out shapes and have students glue different shapes to premade Bingo boards. Make sure that they only have one of each shape. Then call out the name of a shape, and encourage students to place a marker on that shape on their board. For very young students, use shapes such as square, circle, triangle, or rectangle. For older students learning more complex geometric concepts, you can use terms like obtuse angle, parallelogram, trapezoid, and right triangle.

A different way to review the concept of shapes is to create a matching game. This will only work with students who can read well, but it can be used for older students as well. Simply have students draw a shape on one square and write the name of the shape on another square. Then have them turn the squares upside down and play a normal game of matching, with a match being the shape and its name.

 

Geometry Walk

 

Take students on a geometry walk in your school building or outside. Divide students into teams, and bring along a stack of sticky notes for each team. Have students point out objects that they see that have various shapes, and draw each one on a sticky note. When you return to the classroom, have students discuss their findings with the class by posting the sticky notes on the board and reading through them.

Match the Area or Perimeter

Tell students that they are all designers in charge of designing unique potato chips for a famous chip company. Explain that the chip company has only one requirement: all of the chips must have either an area of 24 or a perimeter of 20. Divide the class into groups, and tell them that each group is competing to come up with the most possible chips that can be designed for the company, but that they only have five minutes to come up with as many as they can. Hand out a stack of sticky notes to each group and set the timer. When they finish, have each group attach their sticky notes to the board in a different area. Encourage students to check their classmates’ work to make sure that they all either have the given perimeter or the given area.
Try some of these geometry games the next time you find your students nodding off. They’ll love applying what they’ve learned in these fun ways.

Memeperkenalkan Konsep Geometri pada Kanak-Kanak...

Ironinya, minat terhadap kepelbagaian bentuk dan objek seperti garisan, bulatan, segi tiga, dan segi empat yang begitu dekat dengan kehidupan manusia secara semulajadi selari dengan fenomena memandu di jalan raya, melihat kestabilan bangunan dan lain-lain lagi sering menjadi asas kepada pengembangan terhadap pengetahuan geometri.

Sebenarnya penerapan konsep geometri telah ada semenjak kita kecil lagi.  Ketika kita kecil, ibu bapa telah membeli permainan kepada kita yang mempunyai pelbagai bentuk. 

Dengan menggunakan alatan-alatan ini, secara tidak langsung, kanak-kanak akan mengenal bentuk – bentuk geometri secara tidak formal. Ini kerana geometri ini merupakan suatu seni yang boleh merangsang pemikiran kanak-kanak. Penyusunan blok dan mozek membolehkan kanak-kanak menyelesaikan masalah – masalah bentuk-bentuk yang dikehendaki. Kanak-kanak digalakkan meneroka dengan bebas bahan-bahan geometri dan membuat penemuan secara sendiri ciri-ciri dan struktur bahan. Sementara mereka bermain, murid-murid boleh dinilai oleh guru melalui pemerhatian secara tidak formal cara murid berfikir. 

Sebenarnya, mempelajari geometri adalah sesuatu yang menyeronokkan.  Guru boleh mempelbagaikan aktiviti di dalam bilik darjah.  Sebagai contoh, beri murid 3 batang straw untuk membentuk sebuah segitiga.  Kemudian, biarkan mereka meneroka bentuk segitiga yang pelbagai.  Di sini guru boleh memperkenalkan istilah sisi, sudut dan sebagainya.  Murid boleh membawa, penyungkil gigi ataupun tanah liat untuk mereka bentuk-bentuk yang terdapat di sekeliling mereka.  Banyak lagi konsep geometri boleh didedahkan kepada murid seperti tangram, symmetry, tesselation, origami dan sebagainya.

Membuat rundingan dalam Pengajaran dan Pembelajaran!

Dalam kehidupan harian, kita sentiasa dikehendaki membuat rundingan dalam mengatasi masalah. Tujuan rundingan adalah untuk mencapai persetujuan di antara dua pihak atau lebih dalam proses interaksi sosial. Jadi, kemahiran membuat rundingan perlu dikuasai oleh pelajar-pelajar sebelum mereka meninggalkan sekolah. Untuk menghasilkan rundingan yang menyakinkan orang lain, seseorang itu haruslah mengumpulkan sebarang maklumat yang berkenaan dan membentuk hujah-hujah yang sesuai. Contoh berikut mengilustrasikan satu proses rundingan di dalam situasi pengajaran dan pembelajaran matematik di bilik darjah.

Guru :"Bolehkah anda tolong cikgu kira jawapan bagi 240 x 22 ?"

(Selepas lebih kurang 30 saat)

Pelajar A :" Cikgu, jawapannya ialah 5280."

Pelajar-pelajar lain :

"Cepatnya engkau kira! Betul tak jawapan anda itu?"

Guru :"Boleh anda tunjukkan penyelesaiannya? "

Pelajar A :"Boleh! " (Lihat penyelesaian berikut yang ditulis olehnya.)

240 x 22 = 4800 + 480 = 240 x 20  diikuti dengan 240 x 2 = 5280

Pelajar-pelajar lain :"Betullah jawapannya. Oh, macam ini rupanya!"

Dalam situasi ini, penyelesaian yang ditunjukkan oleh pelajar A adalah berlainan dengan yang lazim dilakukan oleh pelajar lain. Namun, pelajar A dapat merundingcarakan penyelesaiannya untuk diterima oleh kawan sebayanya dengan mengemukakan hujah-hujah yang logik untuk mempertahankan penyelesaiannya.

Dalam proses pengajaran dan pembelajaran seperti di atas, seseorang itu (pelajar-pelajar lain) akan membina atau menyusun semula pengetahuan yang baru diperolehi dengan yang sedia ada dan membentuk pengetahuan yang baru. Proses komunikasi melalui interaksi sosial dalam pembelajaran matematik memerlukan pelajar membuat perundingan yang mana membolehkan pengetahuan matematik dibina dan perkembangkan dalam mindanya.

Meningkatkan kemahiran matematik murid!

Sebagai seorang guru matematik sekolah rendah, kita harus memberi tumpuan terhadap perkembangan kanak-kanak pada peringkat operasi konkrit. Ketika usia sebegini kanak-kanak hanya boleh memahami konsep matematik melalui pengalaman konkrit. Oleh itu,  alat bantuan mengajar dapat membantu murid-murid memahami konsep matematik. Paiget berpendapat bahawa asas pada semua pembelajaran ialah aktiviti kanak-kanak itu sendiri. Beliau juga menegaskan kepentingan interaksi idea-idea antara kanak-kanak tersebut dengan kawan-kawan sebayanya penting untuk perkembangan mental.

Permainan matematik menggunakan kad adalah salah satu daripada alat bantuan mengajar yang dapat membantu murid-murid sekolah rendah memahami konsep matematik sambil bermain. 

Dengan menggunakan kad yang dimainkan dalam kumpulan kecil, kanak-kanak belajar berinteraksi dan beraktiviti sesama mereka untuk mengembangkan minda mereka secara semulajadi. Hal ini selaras dengan teori yang ditekankan oleh Paiget. Penggunaan permainan matematik sebagai alat bantuan mengajar juga adalah salah satu elemen yang memperkembangkan kurikulum pembelajaran matematik di sekolah rendah.

Secara kesimpulannya, kanak-kanak belajar matematik melalui pengalaman dan pengamatan sesuatu perkara. Selain daripada itu, kanak-kanak juga dapat meningkatkan pemikiran dengan menghasilkan konsep baru. Ini bermakna pengetahuan boleh dianggap sebagai koleksi konsep-konsep dan tindakan-tindakan berguna berpandukan kepada keadaan dan masa yang diperlukan.

Kanak-kanak itu ibarat bekas yang kosong dan guru berperanan untuk memenuhkan bekas tersebut dengan ilmu pengetahuan. Guru juga berperanan untuk membimbing kanak-kanak untuk menghadapi cabaran pada masa hadapan. Seharusnya kanak-kanak belajar melalui pengalaman dan membentuk ilmu pengetahuan berdasarkan permainan dan eksperimen dan tidak bergantung sepenuhnya dengan guru. Guru hanyalah seorang fasilitator yang akan memantau perkembangan kanak-kanak dalam mempelajari sesuatu konsep. 

Kemahiran Matematik Kanak-Kanak

Peringkat awal pemerolehan kemahiran matematik adalah penting, kerana ini akan mempengaruhi persepsi dan sikap kanak-kanak terhadap pembelajaran matematik sepanjang hayat mereka ( Renga & Dalla 1992). Ilmu awal dalam bidang matematik juga memainkan peranan dalam bagaimana seseorang membina dan memperolehi ilmu matematik pada masa hadapan. Ginsburg (1977) dalam kajiannya telah mencadangkan bahawa pemikiran informal tentang matematik telah wujud dalam kanak-kanak sejak sangat awal lagi. Sebenarnya , kebanyakan kanak-kanak, termasuk mereka yang berasal daripada keluarga yang miskin, datang ke pra-sekolah dengan serba sedikit kemahiran informal (Russell & Ginsburg, 1984). Kanak-kanak prasekolah ini secara amnya belajar konsep-konsep informal dari ahli keluarga, rakan, TV dan permainan mereka. Pengetahuan informal yang mereka bawa ini akan mempengaruhi bagaimana mereka belajar dan memahami matematik formal yang mereka akan pelajari di peringkat sekolah secara formal. Dalam bukunya, Children’s Mathematical Thinking: A developmental Framework For Preschool, Primary and Special Education Teachers, Baroody (1987) menyatakan bahawa tidak kira bagaimana kemahiran, simbol atau konsep matematik diajar di sekolah seseorang kanak-kanak akan mentafsirkan dan cuba menggunakan kemahiran yang formal ini berdasarkan pengetahuaan matematik informal yang sedia ada pada mereka.
Kajian antara budaya menunjukkan bahawa terdapat banyak persamaan antara bagaimana kanak-kanak dari budaya yang berbeza belajar membilang dan mengira (Ginsburg & Baron, 1992). Kajian secara am (Klein & Starkey, 1988) dari berbagai budaya dan negara, termasuk mereka yang berpendidikan, tidak berpendidikan, kaya dan miskin menunjukkan persamaan dari segi perkembangan pemikiran informal tentang matematik. Ini termasuk mencampur dua nombor secara informal, sistem menyebut nombor dan membilang angka. Kajian yang dijalankan oleh Ginsburg & Russell (1981) mendapati bahawa strategi yang digunakan oleh kanak-kanak di Afrika adalah sama dengan strategi yang digunakan oleh kanak-kanak di Amerika. Dapatan
kajian yang dijalankan di Brazil pula menunjukkan bahawa kanak-kanak yang tidak bersekolah dan bekerja di tepi jalan, menunjukkan perkembangan pemikiran yang efektif dalam pengiraan secara mental tentang angka-angka.

Secara ringkasnya, kajian-kajian lepas menunjukkan bahawa perkembangan kebolehan informal dalam matematik mempunyai persamaan, tidak kira budaya, bangsa dan kelas sosial. Semua kanak-kanak dapat mengembangkan kebolehan asas dalam pemikiran tentang matematik. Ini, walau bagaimanapun tidak bermakna pemikiran dan perkembangan kanak-kanak adalah seiras tetapi ia menunjukkan corak perkembangan pemikiran yang sama. Kesimpulan yang boleh dibuat adalah, kanak-kanak daripada beberapa latarbelakang yang berbeza memperolehi pemikiran melalui proses yang sama. Tetapi kenapa ini berlaku? Sebelum itu mari kita lihat secara ringkas apa yang dimaksudkan dengan pengetahuan matematik formal.
Di kebanyakan masyarakat, kanak-kanak yang telah pun mempunyai pemikiran yang "berfungsi" tentang matematik pada peringkat umur antara 5 ke 7 tahun. Sekolah adalah adalah sesuatu institusi yang dibangunkan untuk mengajar dan menilai kanak kanak ke atas "kearifan sosial". Salah satu bentuk "kearifan sosial" ini adalah dalam bentuk pendidikan formal matematik. Bentuk formal matematik yang diajar dalam
sekolah adalah dalam bentuk tulisan, disusun mengikut peraturan yang tertentu, mengandung bahan-bahan yang didefinisikan secara konvensional dan dipersetujui serta diorganisasi secara jelas. Matematik formal adalah apa yang dimaksudkan dengan " sistem saintifik" oleh Vygotsky dalam bukunya "Thought and
Language"(1968). Pengetahuan informal kanak-kanak pula adalah sistem yang spontan, melibatkan kebolehan mengetahui sesuatu tanpa berfikir, melibatkan emosi, tidak ternyata secara jelas dan sangat berkait dengan kejadian dalam kehidupan mereka.

Faktor-faktor di atas menyebabkan berlakunya konflik antara pengetahuan informal yang dibawa oleh kanak-kanak dengan pengetahuan formal yang diajar di sekolah.  Walaupun kita sebagai seorang dewasa melihat kegunaan matematik dalam kehidupan, kita tidak boleh membuat tanggapan yang sama bagi pihak kanak-kanak. Adalah salah kalau kita membuat tanggapan yang kanak-kanak akan belajar matematik tanpa mengambilkira bagaimana persembahannya atau cara perngajarannya. Kanak-kanak perlu membina atau mengkonstruk pengetahuan mereka sendiri. Cara ini akan menolong kanak-kanak memahami dan menggunakan kemahiran matematik dalam konteks bilik darjah dan di luar bilik darjah. 

Teaching Algebra to Kids

Komponen Algebraic Thinking

Algebraic thinking terbahagi kepada dua komponen utama; pembangunan alat pemikiran Matematik dan juga kajian kepada idea asas algebraic. Alat pemikiran Matematik adalah berkait dengan perlakuan minda yang analitikal. Ia disusun kepada tiga topik: kemahiran penyelesaian masalah, kemahiran perwakilan dan kemahiran penaakulan kuantitatif. Idea asas algebraic pula mewakili domain di mana alat pemikiran Matematik berkembang. Ia diterokai melalui tiga lensa, algebra sebagai generalisasi arithmetik, algebra sebagai bahasa serta algebra sebagai alat untuk fungsi dan permodelan Matematik. Rajah 1 menyimpulkan komponen-komponen tersebut yang dipetik daripada 2006 California Mathematics Content Standards (California Board of Education, 2006).


Components of Algebraic Thinking
(with illustrative citations from the 2006 Mathematics Framework for California Public Schools, Kindergarten Through Grade Twelve)


Mathematical Thinking Tools

Problem solving skills
• Using problem solving strategies
• Exploring multiple approaches/multiple solutions

Representation skills
• Displaying relationships visually, symbolically,
numerically, verbally
• Translating among different representations
• Interpreting information within representations

Quantitative reasoning skills
• Analyzing problems to extract and quantify essential
features
• Inductive and deductive reasoning



Fundamental Algebraic Ideas

Algebra as generalized arithmetic
• Conceptually based computational strategies
• Ratio and proportion
• Estimation

Algebra as the language of mathematics
• Meaning of variables and variable expressions
• Meaning of solutions
• Understanding and using properties of the number
system
• Reading, writing, manipulating numbers and symbols
using algebraic conventions
• Using equivalent symbolic representations to
manipulate formulas, expressions, equations,
inequalities

Algebra as a tool for functions and mathematical modeling
• Seeking, expressing, generalizing patterns and rules
in real-world contexts
• Representing mathematical ideas using equations,
tables, graphs, or words
• Working with input/output patterns
• Developing coordinate graphing skills

Algebraic Thinking!

Matlamat untuk memperkenalkan Algebra kepada semua telah menjadi fokus utama kepada golongan pelajar sekolah di Amerika Syarikat. Ia didorong kepada kehendak untuk melahirkan rakyat yang celik secara kuantitatif dan juga sebagai penghubung kepada matematik yang lebih ke hadapan dan membuka peluang dalam pelbagai bidang yang lain. Mengikut kajian pada tahun 2006, hanya 22% pelajar Gred 8 di California menguasai kursus yang setara dengan Algebra atau yang lebih tinggi (Kriegler & Lee, 2007). Implikasinya jelas bahawa sekolah di peringkat rendah dan menengah harus fokus kepada mempersiapkan murid dalam menghadapi pembelajaran Matematik yang lebih mencabar di peringkat menengah atas dan institusi yang lebih tinggi termasuk Algebra (Chambers, 1994; Silver, 1997).

Oleh itu, “algebraic thinking” telah menjadi frasa utama dalam pengajaran dan pembelajaran Matematik yang mampu mempersiapkan murid dengan kemahiran berikir secara kritikal dan kejayaan dalam menguasai algebra.

Idea Matematik Murid!

Kebolehan dalam menyelesaikan suatu masalah Matematik bergantung kepada tahap pemikiran seseorang pelajar. Dalam proses penyelesaian berasaskan masalah dalam Matematik, pelajar harus mampu berfikir untuk memahami masalah Matematik, merancang penyelesaian, menyelesaikan dan mengaitkan masalah yang sedang dihadapi dengan pengalaman dan pengetahuan yang telah dan sedang dilalui. Penyelesaian berasaskan masalah berupaya menunjukkan perhubungan antara fakta, konsep atau teorem dalam Matematik; algoritma dan masalah dalam kehidupan seharian. Oleh yang demikian, kemahiran menyelesaikan masalah dalam Matematik memang penting dan harus dipupuk terutama di kalangan pelajar bermula di peringkat sekolah rendah lagi.

Pemikiran adalah satu proses mental bagi memperoleh pengetahuan dan pemahaman dengan tujuan menyelesaikan masalah. Ia melibatkan penerimaan dan pemahaman rangsangan dalaman dan luaran, pembentukan konsep, pentafsiran, dan penghasilan gerak balas yang sesuai. Menurut V.R. Ruggiero, 1984, pemikiran ialah satu proses mental yang digunakan untuk membentuk serta menyelesaikan masalah dan kemudiannya membuat keputusan demi memenuhi keinginan mendapatkan jawapan.

Peringkat awal pemikiran matematik adalah penting, kerana ini akan mempengaruhi persepsi dan sikap kanak-kanak terhadap pembelajaran matematik sepanjang hayat mereka ( Renga & Dalla 1992). Ilmu awal dalam bidang matematik juga memainkan peranan dalam bagaimana seseorang membina dan memperolehi ilmu matematik pada masa hadapan. Ginsburg (1977) dalam kajiannya telah mencadangkan bahawa pemikiran informal tentang matematik telah wujud dalam kanak-kanak sejak sangat awal lagi.